函数组成

考虑函数f：A→B和g：B→C。f与g的组合是从A到C的函数, 由（gof）（x）= g [f（x）]定义, 由gof定义。

要查找f和g的成分, 请首先在f下找到x的图像, 然后在g下找到f（x）的图像。

范例1：

Let X = {1, 2, 3}
    Y = {a, b}
    Z = {5, 6, 7}.

如图所示, 考虑函数f = {（1, a）, （2, a）, （3, b）}, g = {（a, 5）, （b, 7）}。找到gof的组成。

解决方案：合成函数gof如图所示：

(gof) (1) = g [f (1)] = g (a) = 5, (gof) (2) = g [f (2)] = g (a) = 5
(gof) (3) = g [f (3)] = g (b) = 7.

示例2：考虑f, g和h, 所有整数函数, 分别为f（n）= n2, g（n）= n +1和h（n）= n-1。

确定（i）hofog（ii）gofoh（iii）fogoh。

解：

(i) hofog (n) = n + 1, hofog (n + 1) = (n+1)2 
h [(n+1)2 ] = (n+1)2 - 1 = n2 + 1 + 2n - 1 = n2 + 2n.

(ii) gofoh (n) = n - 1, gof (n - 1) = (n-1)2 
     g [(n-1)2 ] = (n-1)2 + 1 = n2 + 1 - 2n + 1 = n2 - 2n + 2.
	 
(iii) fogoh (n) = n - 1
      fog (n - 1) = (n - 1) + 1
      f (n) = n2.

注意：

• 如果f和g是一对一的, 则函数（gof）（gof）也是一对一的。
• 如果f和g在上, 则函数（gof）（gof）也在上。
• 组合始终具有关联属性, 但不具有交换属性。