条件和双条件语句

本文概述

• 条件陈述
• 条件语句的变化
• 双条件陈述
• 对偶原理
• 命题的等价

条件陈述

令p和q是两个语句, 则“ if p then q”是一个复合语句, 用p→q表示, 并称为条件语句或蕴涵。蕴含p→q仅在p为真且q为假时为假。否则, 总是如此。在这种情况下, p称为假设（或前提）, q称为结论（或结论）。

例如：以下是条件语句。

1. 如果a = b和b = c, 则a = c。
2. 如果我有钱, 那我将购买一台计算机。

条件语句的变化

相反：命题〜q→〜p被称为p→q的对立。

逆：命题q→p称为p→q的逆。

逆：命题〜p→〜q称为p→q的逆。

例1：证明p→q及其对立的〜q→〜p在逻辑上是等价的。

解决方案：构造两个命题的真值表：

因为, 在两种情况下的值都相同, 因此两个命题是等效的。

例2：证明命题q→p和〜p→〜q不等于p→q。

解决方案：为以上所有命题构建真值表：

因此, 表中的p→q的值不等于图6中的q→p和〜p→〜q。因此, 它们都不等于p→q, 但是它们在逻辑上是等效的。

双条件陈述

如果p和q是两个语句, 则“ p当且仅当q时”是一个复合语句, 表示为p↔q并称为双条件语句或等价语句。仅当p和q均为真或p和q均为假时, 等价p p q才为真。

例如：（i）当且仅当两条直线具有相同的斜率时, 两条直线平行。 （ii）且只有在努力工作的情况下, 你才能通过考试。

示例：证明p↔q等于（p→q）∧（q→p）。

解决方案：构造两个命题的真值表：

由于真值表是相同的, 因此它们在逻辑上是等效的。因此证明。

对偶原理

如果可以通过将∧（AND）替换为∨（AND）, 再将∧（AND）替换为∧（AND）, 则两个公式A1和A2可以互为对偶。同样, 如果公式包含T（真）或F（假）, 则我们用F替换T, 用T替换F, 以获得对偶。

注1：两个连接词∧和∨相互称为对偶。 2.与AND和OR一样, ↑（NAND）和↓（NOR）彼此对偶。 3.如果该命题的任何公式有效, 则它们是对偶的。

命题的等价

如果两个命题在所有情况下都具有完全相同的真值, 则它们在逻辑上是等效的。

table1包含基本的逻辑等效表达式：

命题代数定律

示例：考虑以下命题

~p∨∼q and ∼(p∧q).

它们相等吗？

解决方案：为这两个表构造真值表