布尔代数解析

本文概述

• 布尔代数的性质
• 子代数
• 同构布尔代数
• 布尔函数

互补的分布格称为布尔代数。它用（B, ∧, ∨, ‘, 0, 1）表示, 其中B是一个集合, 在其上定义了两个二进制运算∧（*）和∨（+）和一元运算（补码）。这里0和1是B的两个不同元素。

由于（B, ∧, ∨）是互补的分布格, 因此B的每个元素都有唯一的互补。

布尔代数的性质

1.交换性质：

（i）a + b = b + a（ii）a * b = b * a

2.分布特性

（i）a +（b * c）=（a + b）*（a + c）（ii）a *（b + c）=（a * b）+（a * c）

3.身份属性

（i）a + 0 = a（ii）a * 1 = a

4.补充法律：

（i）a + a’= 1（ii）a * a’= 0

子代数

考虑一个布尔代数（B, *, +, ‘, 0, 1）并让A⊆B。然后（A, *, +, ‘, 0, 1）称为的子代数或子布尔代数如果A本身是布尔代数, 则B, 即A包含元素0和1并在*, +和’操作下关闭。

示例：考虑布尔代数D70, 其Hasse图如图所示：

显然, A = {1, 7, 10, 70}和B = {1, 2, 35, 70}是D70的子代数。由于操作operation, ∨和’都关闭了A和B。

注意：布尔代数的子集可以是布尔代数, 但是它可能是子代数, 也可能不是子代数, 因为它可能不会关闭B上的运算。

同构布尔代数

如果存在一对一的对应关系f, 则两个布尔代数B和B1被称为同构：B⟶B1保留B中任何元素a, b的三个运算+, *和’, 即f（a + b）= f （a）+ f（b）f（a * b）= f（a）* f（b）且f（a’）= f（a）’。

示例：以下是两个不同的布尔代数, 其中两个元素是同构的。

1.第一个是布尔代数, 它由⊆（集合包含）下的幂集P（S）派生, 即, 令S = {a}, 然后让B = {P（S）, ∪, ∩, ‘ }是具有两个元素P（S）= {∅, {a}}的布尔代数。

2.第二个是布尔代数{B, ∨, ∧, ‘}, 具有两个元素1和p（其中p是素数）, 在运算除法后, 即B = {1, p}。因此, 我们有1∧p = 1和1∨p = p以及1’= p和p’= 1。

该表显示了布尔代数（B, *, +, ‘, 0, 1）的所有基本属性, 其中任何元素a, b, c都属于B.B的最大和最小元素分别由1和0表示。

1. a≤biff a + b = b 2. a≤biff a * b = a 3.幂等律4.交换性质（i）a + b = a（i）a + b = b + a（ii ）a * a = a（ii）a * b = b * a 5.缔合特性6.吸收定律（i）a +（b + c）=（a + b）+ c（i）a +（a * b） = a（ii）a *（b * c）=（a * b）* c（ii）a *（a + b）= a 7.身分定律8.空定律（i）a + 0 = a（i ）a * 0 = 0（ii）a * 1 = a（ii）a + 1 = 1 9.分配律10.补律（i）a *（b + c）=（a * b）+（a * c）（i）0’= 1（ii）a +（b * c）=（a + b）*（a + c）（ii）1’= 0（iii）a + a’= 1（iv）a * a’= 0 11.内卷律12.德摩根定律（a’）’= a（i）（a * b）’=（a’+ b’）（ii）（a + b）’=（a ‘* b’）

注意：1.对于每个a∈B, 0≤a≤1。2.每个元素b具有唯一补码b’。

布尔函数

考虑布尔代数（B, ∨, ∧, ‘, 0, 1）。如果n个变量的布尔表达式可以指定, 则从A”到A的函数称为布尔函数。

对于二值布尔代数, 从[0, 1] n到[0, 1]的任何函数都是布尔函数。

示例1：该表显示了从{0, 1} 3到{0, 1}的函数f

示例2：下表显示了从{0, 1, 2, 3} 2到{0, 1, 2, 3}的函数f。

注意：可以始终以表格形式描述功能。表达函数的另一种方法是通过表达式指定函数。