数学布尔表达式

本文概述

• 布尔表达式的求值
• 等效布尔表达式

考虑布尔代数（B, ∨, ∧, ‘, 0, 1）。布尔代数B上的布尔表达式定义为

1. B的每个元素都是一个布尔表达式。
2. 每个变量名称都是一个布尔表达式。
3. 如果a1和a2是布尔表达式, 则a1, ‘∨a2和a1∧a2是布尔表达式。

示例：考虑一个布尔代数（{0, 1, 2, 3}, ∨, ∧, ‘, 0, 1）。

1. 0∨x
2. (2∧3)
3. （x1∨x2）∧（x1∧x3）

是布尔代数上的布尔表达式。

包含n个不同变量的布尔表达式通常称为n个变量的布尔表达式。

布尔表达式的求值

令E（x1, x2, …. xn）为布尔代数B上n个变量的布尔表达式。通过将值赋值给变量x1, x2, …. xn表示元素的赋值A为变量的值。

我们可以通过用值替换表达式中的变量来评估表达式E（x1, x2, …. xn）。

示例：考虑布尔表达式

E（x1, x2, x3）=（x1∨x2）∧（x1∨x2）∧（x2∨x3）

在布尔代数（{0, 1}, ∨, ∧, ‘）上

通过分配值x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0产生

E（0, 1, 0）=（0∨1）∧（0∨1）∧（1∨0）=1∧1∧0= 0。

等效布尔表达式

如果对n个变量的每次赋值都假定相同的值, 则n个变量的两个布尔表达式被认为是相等的。

示例：以下两个布尔代数（x1∧x2）∨（x1∧x3）和x1∧（x2∨x3）是等效的。

我们可以写E1（x1, x2, …. xn）= E2（x1, x2, …. xn）表示两个表达式E1（x1, x2, …. xn）和E2（x1, x2, …. xn）是等效的。

示例：布尔代数（{0, 1}, ∨, ∧, ‘）上的布尔表达式（x1∧x2∧x3）∨（x1∧x2）∨（x1∧x3）定义了图中的函数f。

最小项：如果n变量x1, x2, ….. xn的布尔表达式形式为x1∧x2∧x3∧….∧xn, 则称其为最小项。

其中xi用于表示xi或xi’。