半序集解析

本文概述

• POSET的要素
• 可比元素
• 不可比元素
• 线性有序集

考虑满足以下属性的集合S上的关系R：

1. R是自反的, 即每x∈S有xRx。
2. R是反对称的, 即如果xRy和yRx, 则x = y。
3. R是可传递的, 即xRy和yRz, 然后是xRz。

然后, R被称为偏序关系, 集合S与偏序一起被称为偏序集或POSET, 并由（S, ≤）表示。

例：

1. 自然数的集合N在关系“≤”下形成一个球状体, 因为首先x≤x, 其次, 如果x≤y和y≤x, 则我们有x = y, 最后如果x≤y和y≤z, 则对所有x, y, z∈N暗示x≤z。
2. 在除数下的自然数集N（即“x除以y”）形成了一个位姿, 因为每个x∈N都有x / x。同样如果x / y和y / x, 则x = y。同样, 如果x / y, y / z为每个x, y, z∈N, 则我们有x / z。
3. 考虑集合S = {1, 2}, S的幂集为P（S）。集合包含inclusion的关系是偏序。因为对于（P）中的任何集合A, B, C, 首先我们有A⊆A, 其次, 如果A⊆B和B⊆A, 则我们有A =B。最后, 如果A⊆B和B⊆ C, 然后A⊆C。因此, （P（S）, ⊆）是一个姿态。

POSET的要素

1. 最大元素：如果a中c中没有元素使得a≤c, 则元素∈A称为A的最大元素。
2. 最小元素：如果在c中没有元素使得c≤b, 则元素b∈A称为A的最小元素。

注意：可以有一个以上的最大元素或一个以上的最小元素。

示例：确定其Hasse图如图所示的位姿的所有最大和最小元素：

解决方案：最大元素是b和f。

最小元素是d和e。

可比元素

考虑一个有序集合A。如果满足以下条件, 则将集合A的两个元素a和b称为可比较元素

a≤b或b≤a R R

不可比元素

考虑一个有序的集合A。如果a≤b或b≤a都不叫集合A的两个元素a和b。

示例：考虑A = {1、2、3、5、6、10、15、30}按除数排序。确定A的所有可比较和不可比较的元素对。

解决方案：A的可比较元素对是：{1、2}, {1、3}, {1、5}, {1、6}, {1、10}, {1、15}, {1, 30} {2, 6}, {2, 10}, {2, 30} {3, 6}, {3, 15}, {3, 30} {5, 10}, {5, 15}, {5 , 30} {6, 30}, {10, 30}, {15, 30}

A的不可比较元素对是：{2, 3}, {2, 5}, {2, 15} {3, 5}, {3, 10}, {5, 6}, {6, 10 }, {6、15}, {10、15}

线性有序集

考虑一个有序集合A。如果A中的每对元素都是可比较的, 则集合A称为线性有序集合或全有序集合。

示例：通常整数≤的正整数I +的集合是线性有序集合。