二进制运算的性质

二进制操作的许多属性如下：

1.闭包属性：考虑一个非空集A和一个对A的二进制运算*。然后如果a * b∈A, 则在运算*下关闭, 其中a和b是A的元素。

例1：整数集上的加法运算是封闭运算。

例2：考虑集合A = {-1, 0, 1}。确定下是否关闭A

1. 加成
2. 乘法

解：

（i）元素之和为（-1）+（-1）= -2且1 + 1 = 2不属于A。因此A在加法下不闭合。

（ii）集合中每两个元素的相乘是

-1 * 0 = 0; -1 * 1 =-1; -1 * -1 = 1

0 * -1 = 0; 0 * 1 = 0; 0 * 0 = 0

1 * -1 = -1; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1

由于每个乘法都属于A, 因此A在乘法下是闭合的。

2.关联属性：考虑一个非空集A和对A的二元运算*。那么对A的运算*是关联的, 如果对于每个a, b, c, ∈A, 我们都有（a * b）* c = a *（b * c）。

示例：考虑对Q的二元运算*, 这是由a * b = a + b-ab∀a, b∈Q定义的有理数集合。

确定*是否具有关联性。

解：让我们假设一些元素a, b, c∈Q, 然后定义

（a * b）* c =（a + b- ab）* c =（a + b- ab）+ c-（a + b- ab）c

= a + b- ab + c-ca -bc + abc = a + b + c-ab-ac -bc + abc。

同样, 我们有一个*（b * c）= a + b + c-ab-ac -bc + abc

因此, （a * b）* c = a *（b * c）

因此, *是关联的。

3.可交换性：考虑一个非空集A, 并且对A进行二元运算*。那么对A的运算*是相联的, 如果对于每个a, b, ∈A, 我们都有一个* b = b * a。

示例：考虑对Q的二元运算*, 由a * b = a2 + b2∀a, b∈Q定义的有理数集合。

确定*是否可交换。

解：让我们假设一些元素a, b, ∈Q, 然后定义

a * b = a

+ b

= b * a

因此, *是可交换的。

4.身份：考虑一个非空集A, 以及对A的二元运算*。然后, 如果A中存在元素e, 则该运算*具有标识属性, 使得a * e（正确的身份）= e * a（左恒等式）= a∀a∈A.

示例：考虑I +上的二进制运算*, 由a * b =定义的一组正整数

确定二进制操作*的标识（如果存在）。

解决方案：让我们假设e是一个+ ve整数, 则

e * a, a∈I + = a, e = 2 ……等式（i）

类似地, a * e = a, a∈I + = 2或e = 2 ……..方程（ii）

从方程（i）和（ii）中e = 2, 我们得到e * a = a * e = a

因此, 2是*的标识元素。

5.逆：考虑一个非空集A, 并且对A进行二元运算*。那么该运算就是逆性质, 如果对于每个a∈A, 则在A中存在一个元素b, 使得a * b（右逆）= b * a（左逆）= e, 其中b称为a的逆。

6.等幂：考虑一个非空集A, 并且对A进行二元运算*, 则该运算*具有等幂性质, 如果对于每个a∈A, 我们都有一个* a = a∀a∈A

7.分布性：考虑一个非空集A, 以及对A的二元运算*。然后, 该运算*分布在+上, 如果对于每个a, b, c∈A, 我们都有一个*（b + c）=（ a * b）+（a * c）[左分布]（b + c）* a =（b * a）+（c * a）[右分布]

8.取消：考虑一个非空集A, 并对A进行二元运算*。那么该运算*具有取消特性, 如果对于每个a, b, c∈A, 我们都有* b = a * c⇒ b = c [左取消] b * a = c * a⇒b = c [右取消]