数学之半群

本文概述

• 亚半群
• 免费半组
• 半群属性
• 单体
• 子Monoid

让我们考虑一个代数系统（A, *）, 其中*是对A的二元运算。然后, 如果系统（A, *）满足以下性质, 则称它为半群：

1. *是对集合A的关闭操作。
2. *是一个关联操作。

示例：考虑一个代数系统（A, *）, 其中A = {1、3、5、7、9 ….}, 这是一个正奇数整数, 而*是二进制运算意味着乘法。确定（A, *）是否为半群。

解决方案：闭包属性：*是闭合运算, 因为两个+ ve奇数整数相乘是+ ve奇数。

关联属性：操作*是对集合A的关联操作。由于每个a, b, c∈A, 我们有

（a * b）* c = a *（b * c）

因此, 代数系统（A, *）是一个半群。

亚半群

考虑一个半群（A, *）, 令B⊆A。然后, 如果集合B在*操作下闭合, 则系统（B, *）被称为一个半子群。

示例：考虑一个半群（N, +）, 其中N是所有自然数的集合, 而+是加法运算。代数系统（E, +）是（N, +）的一个子半群, 其中E是一组+ ve个偶数整数。

免费半组

考虑一个非空集A = {a1, a2, ….. an}。

现在, A *是A元素的所有有限序列的集合, 即A *由可以由A的字母形成的所有单词组成。

如果α, β和γ是A *的任何元素, 则α（β。Γ）=（α.b）.c。

这里的°是级联运算, 是上面所示的关联运算。

因此（A *, °）是一个半群。该半群（A *, °）称为由集合A生成的自由半群。

半群属性

定理：如果（S1, *）和（S2, *）是半群, 则（S1 x S2 *）是半群, 其中*由（s1′, s2’）*（s1”, s2”）=定义（s1’* s1”, s2’* s2”）。

证明：半群S1 x S2在操作*下关闭。

*的关联性, 让a, b, c∈S1 x S2

因此, a *（b * c）=（a1, a2）*（（b1, b2）*（c1, c2））=（a1, a2）*（b1 * 1 c1, b2 * 2 c2）=（a1 * 1（b1 * 1 c1）, a2 * 2（b2 * 2 c2）=（（a1 * 1 b1）* 1 * 1, （a2 * 2 b2）* 2 c2）=（a1 * 1 b1, a2 * 2 b2）*（c1, c2）=（（a1, a2）*（b1, b2））*（c1, c2）=（a * b）* c。

由于*是封闭的和关联的。因此, S1 x S2是一个半群。

单体

让我们考虑一个代数系统（A, o）, 其中o是对A的二元运算。然后, 如果系统（A, o）满足以下性质, 则称该系统为等式：

1. 操作o是对集合A的关闭操作。
2. 运算o是关联运算。
3. 存在一个标识元素, 即操作o。

示例：考虑一个代数系统（N, +）, 其中集合N = {0, 1, 2, 3, 4 …}。自然数和+的集合是加法运算。确定（N, +）是否为一个单面体。

解决方案：（a）闭合属性：由于两个自然数之和, 因此+操作已闭合。

（b）关联性质：由于我们具有（a + b）+ c = a +（b + c）∀a, b, c∈N, 因此运算+是关联性质。

（c）身份：在集合N中存在一个身份元素+。元素0是一个标识元素, 即+。由于操作+是封闭的, 关联的, 所以存在一个标识。因此, 代数系统（N, +）是一个单曲面。

子Monoid

让我们考虑一个mono半群（M, o）, 也让S⊆M。当且仅当（S, o）满足以下属性时, 才称为（M, o）的子monoid：

1. S在操作o下关闭。
2. 存在一个恒等元素e∈T。

示例：让我们考虑一个单面体（M, *）, 其中*是二进制运算, 而M是所有整数的集合。那么（M1, *）是（M, *）的子monoid, 其中M1定义为M1 = {ai│i是从0到n, 一个正整数, 和a∈M}。