子群详解

本文概述

• 循环子群
• 循环群
• 阿贝尔群
• 群的乘积
• 陪集

如果群G的非无效子集H本身是在G的操作下的一个群, 我们说H是G的子群。

定理：-在下列情况下, 群G的子集H是G的子集：

• 身份元素a∈H.
• H在G的运算下闭合, 即如果a, b∈H, 则a, b∈H和
• H在逆下闭合, 即如果a∈H, 则a-1∈H。

循环子群：

如果存在一个元素x∈G, 则G群的一个子群K被称为循环子群, 这样对于某个n∈Z, K的每个元素都可以xn的形式编写。

元素x称为K的生成器, 我们写K = <x>

循环群

在G =的情况下, 我们说G是循环的且x是G的生成器。也就是说, 如果存在一个元素x∈G使得G的每个元素都可以写在G中, 则称G群是循环的。对某个n∈Z形成xn

示例：在常规乘法下, 群G = {1, -1, i, -i}是一个以i作为生成器的有限循环群, 因为i1 = i, i2 = -1, i3 = -i和i4 = 1

阿贝尔群

让我们考虑一个代数系统（G, *）, 其中*是G的二元运算。然后, 如果系统（G, *）满足该群的所有属性以及一个附加的跟随属性, 则称其为阿贝尔群。 ：

（1）运算*是可交换的, 即a * b = b * a∀a, b∈G

示例：考虑一个代数系统（G, *）, 其中G是所有非零实数的集合, 而*是由以下项定义的二进制运算

证明（G, *）是一个阿贝尔群。

解：

闭包属性：由于a * b =是实数, 因此在操作*下关闭了集合G。因此, 它属于G。

关联属性：操作*是关联的。设a, b, c∈G

身份：要找到身份元素, 我们假设e是+ ve实数。然后e * a = a, 其中a∈G。

因此, G中的标识元素为4。

逆：让我们假设a∈G。如果a-1∈Q是a的逆, 则a * a-1 = 4

因此, G中元素a的逆是

可交换的：G上的运算*是可交换的。

因此, 代数系统（G, *）是封闭的, 相联的, 恒等式, 逆向和可交换。因此, 系统（G, *）是一个阿贝尔群。

群产品

定理：证明如果（G1, * 1）和（G2, * 2）是群, 则G = G1 x G2, 即（G, *）是一个由（a1, b1）*（a2, b2）=（a1, * 1, a2, b1 * 2 b2）。

证明：要证明G1 x G2是一个群, 我们必须证明G1 x G2具有关联性算子, 具有同一性, 并且还存在于每个元素的逆中。

关联性。设a, b, c∈G1 x G2, 则

因此, a *（b * c）=（a1, a2）*（（b1, b2）*（c1, c2））=（a1, a2）*（b1 * 1 c1, b2 * 2 c2）=（a1 * 1（b1 * 1 c1）, a2 * 2（b2 * 2 c2）=（（a1 * 1 b1）* 1 c1, （a2 * 2 b2）* 2 c2）=（a1 * 1 b1, a2 * 2 b2）*（c1, c2）=（（a1, a2）*（b1, b2））*（c1, c2）=（a * b）* c。

身份：让e1和e2分别是G1和G2的身份。那么, G1 x G2的恒等式为e =（e1, e2）, 假设a∈G1 x G2

然后, a * e =（a1, a2）*（e1, e2）=（a1 * 1 e1, a2 * 2 e2）=（a1, a2）= a

同样, 我们有e * a = a。

逆：要确定G1 x G2中元素的逆, 我们将按元素明智地确定它, 即a-1 =（a1, a2）-1 =（a1-1, a2-1）

现在, 要验证这是确切的逆, 我们将计算* a-1和a-1 * a。

现在, a * a-1 =（a1, a2）*（a1-1, a2-1）=（a1 * 1 a1-1, a2 * 2 a2-1）=（e1, e2）= e

同样, 我们有a-1 * a = e。

因此, （G1 x G2, *）是一个群。

通常, 如果G1, G2, ….. Gn是群, 则G = G1 x G2 x ….. x Gn也是群。

陪集

令H为群G的子群。G中H的左陪集是G的子集, 其元素可以表示为xH = {xh |对于任何x∈G, h∈H}。元素x称为陪集的表示。类似地, G中H的右陪集是可以表示为Hx = {hx | h∈H}, 对于任何x∈G。因此, 复数xH和Hx分别称为左陪集和右陪集。

如果分群运算是加法运算（+）, 则左陪集表示为x + H = {x + h | h∈H}, 右陪集由H + x = {h + x | h∈H}