集合和函数

本文概述

• 函数的域, 共域和范围
• 作为一组函数
• 函数表示

它是一种映射, 其中集合A的每个元素在该元素处都与集合B唯一关联。A的集合称为函数的域, 而B的集合称为Co域。

函数的域, 共域和范围

函数的域：设f为从P到Q的函数。集合P称为函数f的域。

函数的共域：设f为从P到Q的函数。集合Q称为函数f的共域。

函数范围：函数范围是其域的图片集。换句话说, 我们可以说它是其共域的子集。它表示为f（域）。

If f: P → Q, then f (P) = {f(x): x ∈ P} = {y: y ∈ Q | ∃ x ∈ P, such that f (x) = y}.

示例：查找函数的域, 共域和范围。

Let x = {1, 2, 3, 4}
    y = {a, b, c, d, e}
    f = {(1, b), (2, a), (3, d), (4, c)

解：

Domain of function: {1, 2, 3, 4}
Range of function: {a, b, c, d}
Co-Domain of function: {a, b, c, d, e}

作为一组函数

如果P和Q是两个非空集, 则从P到Q的函数f是P x Q的子集, 有两个重要限制

1. ∀a∈P, （b, Q）的（a, b）∈f
2. 如果（a, b）∈f和（a, c）∈f, 则b = c。

注意1：Q中可能有些元素与集合P的任何元素都不相关。

2. P的每个元素必须与Q的至少一个元素相关。

示例1：如果集合A有n个元素, 那么从A到A有多少个函数？

解决方案：如果集合A具有n个元素, 则从A到A有nn个函数。

函数表示

两组P和Q由两个圆圈表示。函数f：P→Q由连接点的箭头表示, 这些点代表P的元素和Q的对应元素

范例1：

Let  X = {a, b, c} 	and Y = {x, y, z}   and f: X → Y such that
     f= {(a, x), (b, z), (c, x)}

则f可以用以下方式表示

例2：令X = {x, y, z, k}和Y = {1, 2, 3, 4}。确定以下哪个函数。如果不是, 请说明原因。查找范围是否为函数。

1. f = {（x, 1）, （y, 2）, （z, 3）, （k, 4）
2. g = {（x, 1）, （y, 1）, （k, 4）
3. h = {（x, 1）, （x, 2）, （x, 3）, （x, 4）
4. l = {（x, 1）, （y, 1）, （z, 1）, （k, 1）}
5. d = {（x, 1）, （y, 2）, （y, 3）, （z, 4）, （z, 4）}。

解：

1. 这是一个函数。范围（f）= {1, 2, 3, 4}
2. 这不是函数, 因为X的每个元素都不与Y的某个元素相关, 即Z不与Y的任何元素相关。
3. h不是函数, 因为h（x）= {1, 2, 3, 4}, 即元素x在集合Y中有多个图像。
4. d不是函数, 因为d（y）= {2, 3}, 即元素y具有多于集合Y中的图像。