常数系数的线性递推关系

如果递归关系的次数为1, 则称为线性关系。

具有常数系数的线性递归关系的一般形式为

C0 yn + r + C1 yn + r-1 + C2 yn + r-2 +⋯+ Cr yn = R（n）

其中C0, C1, C2 … Cn是常数, R（n）是自变量n的相同函数。

满足给定方程的任何函数中递归关系的解。

具有常数系数的线性齐次递归关系：

当且仅当R（n）= 0并且它的阶数为n时, 该方程才被称为线性齐次差分方程。

如果R（n）≠0, 则该方程称为线性非齐次差分方程。

例1：方程ar + 3 + 6ar + 2 + 12ar + 1 + 8ar = 0是3阶线性非齐次方程。

例2：方程ar + 2-4ar + 1 + 4ar = 3r + 2r是2阶线性非齐次方程。

具有常数系数的线性齐次差分方程为

C0 in + C1 in-1 + C2 in-2 +⋯…… + Cr yn-r = 0 …….等式（i）

其中C0, C1, C2 …. Cn是常数。

方程（i）的解形式为, 其中∝1是特征根, A是常数。

将A ∝ K的值代入公式（1）中, 得到

C0 A∝K + C1 A∝K-1 + C2 A∝K-2 +⋯…. + Cr A∝K-r = 0 …….方程（ii）

简化方程式（ii）之后, 我们得到

C0∝r + C1∝r-1 + C2∝r-2 +⋯Cr = 0 ……….（iii）

式（iii）被称为差分式的特征式。

如果∝1是特征方程的根之一, 那么它是差分方程的齐次解。

为了找到线性齐次差分方程的解, 我们讨论了以下四种情况：

情况1：如果特征方程具有n个不同的实根, 则∝1, , 2, ∝3, ……. ∝n。

因此, 方程（i）的所有解。

而且, 我们都是方程式（i）的解。解决方案的总和也是解决方案。

因此, 差分方程的齐次解为

情况2：如果特征方程式具有重复的实根。

如果∝1 = ∝2, 则（A1 + A2 K）也是一个解。

如果∝1 = ∝2 = ∝3, 则（A1 + A2 K + A3 K2）也是一个解。

同样, 如果根∝1重复n次, 则。

（A1 + A2 K + A3 K2 + …… + An Kn-1）

齐次方程的解。

情况3：如果特征方程具有一个假想根。

如果α+iβ是特征方程的根, 则α-iβ也是根, 其中α和β是实数。

因此, （α+iβ）K和（α-iβ）K是方程式的解。这意味着

（α+iβ）K A1 +α-iβ）K A2

也是特征方程的解, 其中A1和A2是要确定的常数。

情况4：如果特征方程具有重复的虚根。

当特征方程具有重复的假想根时,

（C1 + C2 k）（α+iβ）K +（C3 + C4 K）（α-iβ）K

是齐次方程的解。

示例1：求解差分方程ar-3ar-1 + 2ar-2 = 0。

解：特征方程由下式给出

s

-3s + 2 = 0或（s-1）（s-2）= 0

⇒s = 1, 2

因此, 方程的齐次解为

一种

= C

+ C

.2

.

示例2：求解差分方程9yK + 2-6yK + 1 + yK = 0。

解决方案：特征方程为

9秒

-6s + 1 = 0或（3s-1）

=0

⇒s =

和

因此, 方程的齐次解由yK =（C1 + C2 k）给出。

例3：求解差分方程yK-yK-1-yK-2 = 0。

解：特征方程为s2-s-1 = 0 s =

因此, 方程的齐次解为

示例4：求解差分方程yK + 4 + 4yK + 3 + 8yK + 2 + 8yK + 1 + 4yK = 0。

解决方案：特征方程为s4 + 4s3 + 8s2 + 8s + 4 = 0（s2 + 2s + 2）（s2 + 2s + 2）= 0 s = -1±i, -1±i

因此, 方程的齐次解为

yK =（C1 + C2 K）（-1 + i）K +（C3 + C4 K）（-1-i）K