数学归纳法

建立涉及自然数的普通结果的有效性的过程是数学归纳法的原理。

工作规则

令n0为固定整数。假设P（n）是一个涉及自然数n的语句, 我们希望证明P（n）对于所有n≥n0都是正确的。

1.归纳法基础：P（n0）为真, 即, 对于n = n0, P（n）为真。

2.归纳步骤：假设对于n = k, P（k）为真。那么P（K + 1）也必须为真。那么对于所有n≥n0, P（n）为真。

范例1：

通过数学归纳证明以下内容：

1 + 3 + 5 +.... + 2n - 1 = n2.

解决方案：让我们假设。

P (n) = 1 + 3 + 5 +..... + 2n - 1 = n2.
For n = 1, P (1) = 1 = 12 = 1
It is true for n = 1................ (i)

归纳步骤：对于n = r,

P (r) = 1 + 3 + 5 +..... +2r-1 = r2 is true......................... (ii)
Adding 2r + 1 in both sides
       P (r + 1) = 1 + 3 + 5 +..... +2r-1 + 2r +1
                = r2 + (2r + 1) = r2 + 2r +1 = (r+1)2..................... (iii)
As P(r) is true. Hence P (r+1) is also true.
From (i), (ii) and (iii) we conclude that.
        1 + 3 + 5 +..... + 2n - 1 =n2 is true for n = 1, 2, 3, 4, 5 ....Hence Proved.

范例2：12 + 22 + 32 + ……. + n2 =

解决方案：对于n = 1, P（1）= 12 == 1

n = 1时为真。

归纳步骤：对于n = r, ………….（i）P（r）= 12 + 22 + 32 + …….. + r2 =是………..（ii）

两边相加（r + 1）2, 我们得到P（r + 1）= 12 + 22 + 32 + ……. + r2 +（r + 1）2 = +（r + 1）2

由于P（r）为真, 因此P（r + 1）为真。根据（i）, （ii）和（iii）, 我们得出结论：

12 + 22 + 32 + …… + n2 =对于n = 1、2、3、4、5 …是正确的, 因此被证明。

示例3：证明对于任何整数, n 11n + 2 + 122n + 1被133整除。

解：

Let P (n) = 11n+2+122n+1
    For n = 1, P (1) = 113+123=3059=133 x 23
So, 133 divide P (1).................. (i)

归纳步骤：对于n = r,

P (r) = 11r+2+122r+1=133 x s............ (ii)
 Now, for n = r + 1, P (r+1) = 11r+2+1+122(r)+3=11[133s-122r+1] + 144. 122r+1
        = 11 x 133s + 122r+1.133=133[11s+122r+1]=133 x t........... (iii)
As (i), (ii), and (iii) all are true, hence P (n) is divisible by 133.