数学方程和特解

（a）齐次线性差分方程和特解：

通过将初始条件的值放入齐次解中, 可以找到当方程为齐次线性型时差分方程的特定解。

示例1：求解差分方程2ar-5ar-1 + 2ar-2 = 0并找到特定解, 使得a0 = 0和a1 = 1。

解决方案：特征方程为2s2-5s + 2 = 0（2s-1）（s-2）= 0 s =和2。

因此, 方程的齐次解为

ar（h）= C1 + C2 .2r ……….方程（i）

将r = 0和r = 1放在等式（i）中, 我们得到a0 = C1 + C2 = 0 ………..等式（a）a1 = C1 + 2C2 = 1 ….. ……等式（b）

求解方程（a）和（b）, 我们有C1 =-和C2 =

因此, 特定的解决方案是

示例2：求解差分方程ar-4ar-1 + 4ar-2 = 0并找到特定解, 使得a0 = 0和a1 = 6。

解决方案：特征方程为s2-4s + 4 = 0或（s-2）2 = 0 s = 2, 2

因此, 方程的齐次解由ar（n）=（C1 + C2 r）.2r …………..方程（i）给出

将r = 0和r = 1放在等式（i）中, 我们得到a0 =（C1 + 0）.20 = 1 1 C1 = 1 a1 =（C1 + C2）.2 = 6 C1 + C2 =3⇒C2 = 2

因此, 特定的解决方案是ar（P）=（1 + 2r）.2r。

示例3：求解满足条件a0 = 0和a1 = 2的差分方程9ar-6ar-1 + ar-2 = 0。

解决方案：特征方程为

9秒

-6s + 1 = 0或（3s-1）

=0

s =

因此, 方程的齐次解由ar（h）=（C1 + C2 r）给出。 ……….等式（i）

将等式（i）中的r = 0和r = 1, 我们得到a0 = C_1 = 0 a1 =（C1 + C2）。= 2。 ∴C1+ C2 =6⇒C2= 6

因此, 特定的解决方案是ar（P）= 6r。

（b）非齐次线性差分方程和特解：

有两种方法可以找到非齐次线性差分方程的特定解。这些如下：

1. 不确定系数法
2. E和∆运算符方法。

1.不确定系数法：此方法用于查找非齐次线性差分方程的特定解, 其R.H.S项R（n）由特殊形式的项组成。

在这种方法中, 首先我们根据包含一些未知常数的R（n）的类型, 假定特定解的一般形式, 必须确定这些常数。然后根据差分方程, 我们将确定精确解。

表中显示了为特定形式的R（n）所假定的特定解的一般形式, 以找到确切的解。

例1：找到差分方程ar + 2-3ar + 1 + 2ar = Zr ……..方程（i）的特定解

Z是一些常数。

解：解的一般形式是= A. Zr

现在将此解决方案放在等式（i）的L.H.S上, 我们得到= A Zr + 2-3AZr + 1 + 2AZr =（Z2-3Z + 2）A Zr ………等式（ii）

将等式（ii）与等式（i）的R.H.S等同, 我们得到（Z2-3Z + 2）A = 1 A =（Z≠1, Z≠2）

因此, 特定的解决方案是

例2：找到差分方程ar + 2-5ar + 1 + 6ar = 5r的特定解………….方程（i）

解：让我们假设解的一般形式= A. 5r。

现在找到A的值, 将此解决方案放在等式（i）的L.H.S上, 则其变为= A.5r + 2-5.A5r + 1 + 6.A5r = 25A。 5r-25A.5r + 6A.5r = 6A.5r …………方程（ii）

将方程（ii）等同于方程（i）的R.H.S, 我们得到A =

因此, 差分方程的特定解为= .5r。

例3：求出差分方程ar + 2 + ar + 1 + ar = r.2r ……….方程（i）的特定解

解：让我们假设解的一般形式=（A0 + A1r）。 2 ^ r

现在, 将这些解放在等式（i）的LHS中, 我们得到= 2r + 2 [A0 + A1（r + 2）] + 2r + 1 [A0 + A1（r + 1）] + 2r（A0 + A1 r）=4。2r（A0 + A1 r + 2A1）+ 2.2r（A0 + A1 r + A1）+ 2r（A0 + A1 r）= r。 2r（7A1）+ 2r（7A0 + 10A1）…………（ii）

将等式（ii）与等式（i）的R.H.S等同, 我们得到7A1 = 1∴A1 = 7A0 + 10A1 = 0∴A0 =

因此, 特定的解决方案是

2. E和∆运算符方法：

运算符E的定义：f（x）上E的运算符表示使函数中x的值增加。 E的运算是将（x + h）放到有x的函数中。这里, h是增量量。所以Ef（x）= f（x + h）

此处, E在f（x）上进行运算, 因此, E是称为移位运算符的符号。

运算符∆的定义：运算∆是两步运算。

首先, 函数中的x增加一个常数, 然后从后一个减去前一个, 即∆f（x）= f（x + h）-f（x）

定理1：证明E≅1+ ∆。

证明：∆在f（x）上的运算分为两个步骤。首先, 在函数中增加x的值。因此, 只要在f（x）中存在x, 就将x + h（此处h是恒定增量）放进去, 这意味着E在f（x）上的运算, 即f（x + h）= Ef（x）。

其次, 从第一步获得的值中减去原始函数, 因此∆f（x）= Ef（x）-1f（x）=（E-1）f（x）

因此, ∆在f（x）上的运算等效于（E-1）在f（x）上的运算。

因此, 我们有E≅1+ ∆。

定理2：证明En f（x）= f（x + nh）。

证明：我们知道E f（x）= f（x + h）

现在En f（x）= EEEE …….. n次f（x）= En-1 [E f（x）] = En-1 f（x + h）= En-2 [E f （（x + h）] = En-2 f（x + 2h）…………………………………………….. ………. = E f [x +（n-1）h] = f（x + nh）。

定理3：证明E Cf（x）= CE f（x）

证明：我们知道E c f（x）= C f（x + h）= CE f（x + h）。因此证明。

E的运算对任何常数都没有影响。因此, E对任何常数的运算将等于常数本身。

通过E和∆算子方法, 我们将找到+ r + C1在+ r-1 + C2在+ r-2 +⋯+ Cn yn = R（n）时的C0解……… …..方程式（i）

等式（i）可以写成C0 Er in + C1 Er-1 in + C2 Er-2 in +⋯+ Cn in = R（n）（C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +⋯+ Cn） in = R（n）放C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +⋯+ Cn = P（E）

因此, P（E）at = R（n）∴in = …….等式（ii）

为了找到不同形式的R（n）的（ii）特定解, 我们有以下几种情况。

情况1：当R（n）为常数A时。

我们知道, E在任何常数上的运算都将等于常数本身, 即EA = A因此, P（E）A =（C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +⋯+ Cn）A =（C0 + C1 + C2 +⋯+ Cn）A = P（1）A因此, 使用等式（ii）, （i）的特定解为yn =, P（1）≠0

通过将E = 1放在P（E）中获得P（1）。

情况2：当R（n）的形式为A. Zn, 其中A和Z为常数

我们有P（E）（A.Zn）= {C0 Er + C1 Er-1 +⋯+ Cn}（A.Zn）= A {C0 Zr + n + C1 Zr + n-1 +⋯+ Cn Zn } = A {C0 Zr + C1 Zr-1 +⋯+ Cn}。锌= AP（Z）.Zn

为了得到, P（Z）将E = Z放在P（E）中

因此, 假设P（Z）≠0

因此, 在=中, P（Z）≠0

如果A = 1, 则yn =

当P（Z）= 0时, 则为等式

（i）（E-Z）at =锌

为此, 特定的溶液变为A。Zn＝ A。锌1

（ii）（E-Z）2 in = A.Zn

为此, 特定的解决方案成为

（iii）（E-Z）3英寸= A.Zn

为此, 特定的解决方案变得如此等等。

情况3：当R（n）是次数为m的多项式时, n为n。

我们知道E≅1+ ∆所以, P（E）= P（1 + ∆）

可以将∆的上升功率扩展到∆m

⇒=（b0 + b1 ∆ + b2 ∆ +⋯。+ bm ∆m +⋯）⇒.R（n）=（b0 + b1 ∆ + b2 ∆ +⋯。+ bm ∆m +⋯）.R（n）= b0 R（n）+ b1 ∆ R（n）+⋯+ bm ∆m R（n）

所有其他较高项将为零, 因为R（n）是次数为m的多项式。

因此, 在这种情况下, 方程式（i）的特定解为

in = b0 R（n）+ b1 ∆ R（n）+⋯+ bm ∆m R（n）。

情况4：当R（n）的形式为R（n）.Zn时, 其中R（n）是度为m的多项式, Z为某个常数

我们有Er [Zn R（n）] = Zr + n R（n + r）= Zr.Zn.Er.R（n）= Zn（ZE）rR（n）

同样, 我们有[Zn R（n）] = Zn。（R（n））= Zn [P（Z + Z∆）]-1.R（n）

因此, 在这种情况下, 公式（i）的特定解将是yn = Zn [P（Z + Z∆）]-1.R（n）

示例1：找到差分方程2ar + 1-ar = 12的特定解。

解：上面的等式可以写成（2E-1）ar = 12

具体解决方案由ar = .12给出

将E = 1放在等式中。特定的解决方案是ar = 12

示例2：找到差分方程ar-4ar-1 + 4ar-2 = 2r的特定解。

解：上面的等式可以写成（E2-4E + 4）ar = 2r

因此, P（E）= E2-4E + 4 =（E-2）2

因此, 特定的解决方案由