数学谓词逻辑

本文概述

• Quantify的
• 存在量词
• 通用量词
• 否定量化命题
• 具有多个量词的命题

谓词逻辑处理谓词, 即命题, 由变量组成。

谓词逻辑-定义

谓词是在某个特定域上确定的一个或多个变量的表达式。通过向变量授权值或量化变量, 可以使带有变量的谓词成为命题。

以下是谓词的一些示例。

• 考虑E（x, y）表示“ x = y”
• 考虑X（a, b, c）表示“ a + b + c = 0”
• 考虑M（x, y）表示“ x已嫁给y”。

Quantify的

谓词变量由量词量化。谓词逻辑中的量词有两种-存在量词和通用量词。

存在量词

如果p（x）是关于宇宙U的命题, 则将其表示为∃xp（x）并读作“在变量x的宇宙中至少存在一个值, 使得p（x）为真。” ∃被称为存在量词。

通过存在量词, 有几种写命题的方法, 即

（∃x∈A）p（x）或∃x∈A, 使得对于某些x∈A, p（x）或（∃x）p（x）或p（x）为真。

通用量词

如果p（x）是关于宇宙U的命题, 则将其表示为∀x, p（x）并读作“对于每个x∈U, p（x）为真”。量词∀称为通用量词。

使用通用量词可以用几种方法来编写命题。

∈x∈A, p（x）或p（x）, ∀x∈A或∀x, p（x）或p（x）对所有x∈A都是正确的。

否定量化命题

当我们否定一个量化的命题时, 即当一个普遍量化的命题被否定时, 我们得到一个存在的量化命题, 而当一个存在的量化命题被否定时, 我们得到一个普遍量化的命题。

否定量化命题的两个规则如下。这些也称为德摩根定律。

示例：否定以下每个命题：

1.∀xp（x）∧y q（y）

太阳：〜.∀xp（x）∃yq（y））≅〜∀xp（x）∨〜yy（y）（∴〜（p∧q）=p∨〜q）∃x〜p （x）∨∀y〜q（y）

2.（∃x∈U）（x + 6 = 25）

Sol：〜（∃x∈U）（x + 6 = 25）≅∀x∈U〜（x + 6）= 25≅（∀x∈U）（x + 6）≠25

3.〜（∃x p（x）∨∀y q（y）

太阳：〜（∃xp（x）∨∀yq（y））≅〜∃xp（x）∧〜∀yq（y）（∴〜（p∨q）= ∼p∧∼q）∀x〜p （x）∧∃y〜q（y））

具有多个量词的命题

具有多个变量的命题可以用多个量词来量化。可以以任何顺序排列多个通用量词, 而不会改变所得命题的含义。同样, 可以以任何顺序排列多个存在量词, 而不会改变命题的含义。

包含通用量词和存在量词的命题, 在不改变命题含义的情况下不能交换量词的顺序, 例如, 命题∃x∀yp（x, y）表示“存在一些x使得p （x, y）对每个y都是正确的。”

示例：为以下每个写负号。确定结果语句是对还是错。假设U =R。

1.∀x∃m（x2 <m）

Sol：∀x∃m（x2 <m）的取反是∃x∀m（x2≥m）。 ∃x∀m（x2≥m）的含义是, 存在每x个x等于x2≥m的x。该陈述是正确的, 因为每m有一个更大的x, 使得x2≥m。

2.∃m∀x（x2 <m）

Sol：：m∀x（x2 <m）的取反是∀m∃x（x2≥m）。 ∀m∃x（x2≥m）的含义是, 每m存在一个x, x2≥m。对于每m, 该陈述是正确的, 存在更大的x, 使得x2≥m。