数学递归关系

本文概述

递归关系是自变量x, 因变量f（x）与f（x）的各种阶数之差之间的函数关系。递归关系也称为差分方程, 我们将互换使用这两个术语。

例1：方程f（x + 3h）+ 3f（x + 2h）+ 6f（x + h）+ 9f（x）= 0是递归关系。

也可以写成

ar+3 + 3ar+2 + 6ar+1 + 9ar = 0
yk+3 + 3yk+2 + 6yk+1 + 9yk = 0

示例2：斐波那契数列由递归关系ar = ar-2 + ar-1, r≥2定义, 初始条件为a0 = 1和a1 = 1。

递归关系或差异方程的阶数定义为f（x）或ar = yk的最高和最低下标之间的差。

示例1：公式13ar + 20ar-1 = 0是一阶递归关系。

示例2：公式8f（x）+ 4f（x +1）+ 8f（x + 2）= k（x）

差分方程的阶数定义为f（x）或ar = yk的最大幂

示例1：方程y3k + 3 + 2y2k + 2 + 2yk + 1 = 0的次数为3, 因为yk的最高幂为3。

示例2：方程a4r + 3a3r-1 + 6a2r-2 + 4ar-3 = 0的次数为4, 因为ar的最高幂为4。

示例3：方程yk + 3 + 2yk + 2 + 4yk + 1 + 2yk = k（x）的阶数为1, 因为yk的最高幂为1, 阶次为3。

例4：方程f（x + 2h）-4f（x + h）+ 2f（x）= 0的次数为1, 阶次为2。