集合关系类型

1.自反关系：如果每个a∈A（a, a）∈R, 则集合A上的关系R被认为是自反的。

示例：如果A = {1, 2, 3, 4}, 则R = {（1, 1）（2, 2）, （1, 3）, （2, 4）, （3, 3）, （3, 4）, （4, 4）}。关系是自反的吗？

解决方案：对于每个a∈A.（a, a）∈R, 即（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （4, 4）∈R, 该关系是自反的。

2.不自反关系：如果每个a∈A（a, a）∉R, 则集合A上的关系R被称为不自反关系。

示例：令A = {1, 2, 3}, R = {（1, 2）, （2, 2）, （3, 1）, （1, 3）}。关系R是自反的还是不自反的？

解：对于每个a∈A, 关系R不是自反的, 即（a, a）, R, 即（1, 1）和（3, 3）∉R。关系R对于（a, a）并不是不自反的）∉R, 对于某些a∈A, 即（2, 2）∈R.

3.对称关系：集合A上的关系R被称为对称iff（a, b）∈R⟺（b, a）∈R。

示例：令A = {1, 2, 3}, R = {（1, 1）, （2, 2）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 3）, （3, 2 ）}。关系R是否对称？

解：对于每个（a, b）∈R, 关系是对称的, 我们有（b, a）∈R, 即（1, 2）, （2, 1）, （2, 3）, （3, 2）∈R但不自反, 因为（3, 3）∉R.

对称关系示例：

1. 关系⊥r是对称的, 因为线a是b的⊥r, 然后b是a的⊥r。
2. 而且, 平行是对称的, 因为如果线a是b的∥, 那么b也是a的∥。

反对称关系：集合A上的关系R是反对称iff（a, b）∈R和（b, a）∈R, 则a = b。

例1：设A = {1, 2, 3}, R = {（1, 1）, （2, 2）}。关系R是反对称的吗？

解：当（a, b）和（b, a）都属于R时, 关系R是a = b的反对称关系。

例2：设A = {4, 5, 6}, R = {（4, 4）, （4, 5）, （5, 4）, （5, 6）, （4, 6）}。关系R是反对称的吗？

解决方案：关系R不是反对称的, 因为4≠5, 但是（4, 5）和（5, 4）都属于R。

5.不对称关系：如果对于每个（a, b）∈R表示（b, a）不属于R, 则集合A上的关系R称为不对称关系。

6.传递关系：集合A上的关系R被称为传递iff（a, b）∈R和（b, c）∈R⟺（a, c）∈R。

例1：设A = {1, 2, 3}, R = {（1, 2）, （2, 1）, （1, 1）, （2, 2）}。关系是可传递的吗？

解：关系R是传递性的, 因为每个（a, b）（b, c）都属于R, 我们有（a, c）∈R, 即（1, 2）（2, 1）∈R⇒（1 , 1）∈R.

注1：关系≤, ⊆和/是可传递的, 即a≤b, b≤c然后a≤c（ii）令a⊆b, b⊆c然后a⊆c（iii）令a / b, b / c然后a / c。

注2：⊥r不是传递性的, 因为ar b, b⊥rc, 那么ar c是不正确的。由于没有一行是∥, 所以我们可以有a b, b∥a但a∦a。因此∥不是可传递的, 但在平面中将是可传递的。

7.身份关系：集合A上的身份关系I是自反的, 传递的和对称的。因此, 身份关系I是等效关系。

示例：A = {1, 2, 3} = {（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）}

8.空隙关系：由R：A→B给出, 使得R =∅（⊆A x B）为零关系。空隙关系R =∅是对称的和可传递的, 但不是自反的。

9.普遍关系：关系R：A→B, 使得R = A x B（⊆A x B）是普遍关系。 A→B的普遍关系是自反的, 对称的和可传递的。因此, 这是一个等价关系。